前言
实变函数中理不清的几个空间问题，不断更新中，一边学习，一边总结~
实变函数与泛函分析中的几个空间，各种空间，还在学习中…
一，度量空间
设 $\mathbf{X}$ 是集合，对 $\forall x,y\in{X}$ 都有实数 $d(x,y)$ 对应，而且满足：
- $d(x,y)\geqq 0,\quad d(x,y)=0 \; only \; if \; x=y$
- $d(x,y)\leqq d(x,z)+d(y,z)\quad for \; all \; z$
$d(x,y)$是距离，集合$\mathbf{X}$是度量空间，又叫距离空间。
1，特例
- Euclid空间
- 实数集合 $\mathbf{R}^{n}$ 和 $ d(x,y)=(\sum\limits^n_{i=1}(\xi_i-\eta_i)^{2})^{\frac{1}{2}} $ 定义的距离下，$(\mathbf{R}^{n}, d(x,y)) $ 称为n维欧式空间，其中 $ d $ 称为欧几里得距离。
- 其他的距离定义，如1-范数，$\infty$-范数等。
2，完备的度量空间
如果度量空间$(\mathbf{X},d)$中每个Cauchy点列收敛到该空间中的一点，则可称为完备的度量空间。
- $l^{\infty}$是完备度量空间
二，线性空间
$\mathbf{X}$是非空集合，在其上定义元素的加法运算及其元素与实数（复数）的乘法运算，且满足一下两个条件：
- 关于加法称为交换群，且满足性质：
- $x+y = y+x$
- $(x+y)+z = x+(y+z)$
- 存在零元素且唯一，$\forall x\in\mathbf{X},\; x+0 = x$
- 存在负元素且唯一，$\forall x\in\mathbf{X},\; x+(-x)=0$
- 定义$u=\alpha x$的数积运算，且满足性质:
- $1x=x$
- $a(bx)=(ab)x\quad\forall a,b为实数或复数$
- $(a+b)x=ax+bx,\quad a(x+y)=ax+ay$
则称$\mathbf{X}$按上述加法和数乘称为线性空间或向量空间，其中元素称为向量。
1，特例
- 实线性空间$\mathbf{R}^{n}$
- 复线性空间
2，维度
- 无限维
- 有限维
- 零维
三，赋范线性空间
$\mathbf{X}$为实(复)的线性空间，$\forall x\in\mathbf{X}$都有实数(记为$||x||$)与之对应，并且满足：
- $||x||\geqq 0\quad ||x||=0\;only\; if\;x=0$
- $||\alpha x||=|\alpha|||x||,\; \alpha为任意实(复)数$
- $||x+y||\leqq ||x||+||y||$
则$||x||$为向量$x$的范数，$\mathbf{X}$为按范数$||x||$称为赋范线性空间。
1，举例
四，Banach空间(巴拿赫空间)
【完备的赋范线性空间】
1，举例
- 欧式空间 $ \mathbf{R}^{n} $ 对任一元素 $ x=(\xi_1,\dots,\xi_n) $ 定义如下范数
- $L^{p}[a,b]$对任一元素$f$定义如下范数
五，内积空间
赋范线性空间只有长度(范数)，但没有角度，两个向量除了有长度概念外，还有夹角的概念。
1，定义内积
在复欧式空间中，任意两个向量：
定义$a$与$b$的内积为：
- $\bar\eta_i$是$\eta_i$的复共轭。
- 若为实欧式空间，类似定义
2，定义内积空间
设 $ \mathbf{X} $ 是复线性空间，对其中任意两个向量 $ x,y $，都有一个复数 $ < x,y > $ 与之对应，且满足如下条件：
- $ < x,x > \geq 0,\quad < x,x >=0\;only\;if\; x=0 $
- $ < \alpha x+\beta y, z >=\alpha < x,z >+\beta < y,z >, \alpha 和\beta 为复数 $
- $ < x,y >=\overline{< y,x >} $
则称$< x,y >$为$x$与$y$的内积，空间 $ \mathbf{X} $ 为内积空间。
3，用内积定义范数
若$\mathbf{X}$是内积空间，令，则$||x||$为$\mathbf{X}$上的范数。
4，内积空间上的特殊（赋范线性空间没有）
$\mathbf{X}$为内积空间，任意两个元素$a$和$b$正交等价于$< a,b >=0$
5，重要的定义或公式
- Schwarz不等式
- 投影定理
- 正交基和标准正交基
六，Hilbert空间
【完备的内积空间】
是赋范线性空间的特例
理不清的关系
- 赋范线性空间是一种特殊的度量空间
只要用范数来定义距离，$d(x,y)=||x-y||$